Pertidaksamaan

setelah kita pelajari persamaan kuadrat dan himpunan, sekarang mari kita belajar tentang pertidaksamaan. mudah-mudahan saya bisa sedikit membantu para pembaca setia Pendidikan Sekolah
Sifat-Sifat Pertidaksamaan
Antara dua bilangan a dan b terdapat hubungan :
a > b ; a = b atau a b ® a – b > 0
a = b ® a – b = 0
a < b ® a – b < 0
prinsip: nilai bilangan harus jelas positif, nol atau negatif
2. a + b < c ® a + b – c 0
3. Ditambah/Dikurangi dengan bilangan yang sama
a < b ® {
a + c < b + c
a – c < b – c
4. Dikali/Dibagi dengan bilangan positif yang sama
a 0 } ® { ac < bc
a/c < b/c
Tanda tetap
5. Dikali/dibagi dengan bilangan negatif yang sama
a < b
d bd
a/d > b/d
TANDA
BERUBAH
6. Pangkat Genap
a > 0 ; b > 0
a < b
} ® a² < b² TANDA TETAP
a < 0 ; b < 0
a b² TANDA BERUBAH
7. Pangkat Ganjil
a < b ® {
a³ < b³
a5 < b5
a7 0 ; b > 0
a 1/b TANDA BERUBAH
a < 0 ; b < 0
a 1/b TANDA BERUBAH
Garis Bilangan
Dipergunakan untuk mengetahui nilai (+/-) suatu fungsi pada interval tertentu.
Batas pada garis bilangan didapat dari harga nol fungsi (angka yang menjadikan fungsi bernilai 0),
sehingga fungsi bernilai nol pada batas tersebut, dan bernilai (+/-) pada interval lainnya.
Untuk menentukan nilai (+/-) suatu fungsi dalam suatu interval, langkah pertama adalah mencari
nilai nolnya sebagai batas interval pada garis bilangan, kemudian substitusi sembarang bilangan yang
mewakili suatu interval.
Untuk memudahkan mengetahui daerah (+/-) biasanya dicek angka 0 atau daerah yang diuji
adalah daerah paling kanan (bilangan besar sekali) sehingga tanda (+/-) cukup dengan
melihat hasil perkalian/pembagian tanda dari koefisien variabel.
Bila hasil substitusi tersebut bernilai positif maka interval di mana bilangan itu berada adalah juga
bernilai positif, bila hasil substitusi tersebut bernilai negatif maka interval di mana bilangan itu berada
juga bernilai negatif.
Cara Menentukan Penyelesaian Beberapa Garis Bilangan
Andaikan a < b
Ambil yang paling kanan
Ambil yang paling kiri
Ambil yang berada diantaranya
contoh :
1. UNTUK BATAS TUNGGAL
f(x) = (x – a) (x – b)
f(x) < 0 untuk a < x 0 untuk x b
HAL KHUSUS
Bila koefisien x² adalah (+), dan dapat difaktorkan,
maka perubahan tanda adalah sebagai berikut:
( +) | (-) | ( +)
Bila koefisien x² adalah (-), dan dapat difaktorkan,
maka perubahan tanda adalah sebagai berikut :
( -) | (+) | ( -)
2. UNTUK BATAS RANGKAP
f(x) = (x – a)² (x – b) f(x) = (x – a) (x – b)²
( -) || – | ( +)
a b
( -) | – || ( +)
a b
f(x) < 0 untuk x 0 untuk x > b
f(x) < 0 untuk x a ; x ¹ b
Ket :
bila melewati batas tunggal (rangkap ganjil) maka tanda pada interval berikutnya berubah, bila
melewati batas rangkap genap maka tanda pada interval berikutnya tetap.
Jenis-Jenis Pertidaksamaan
A. PERTIDAKSAMAAN LINIER (PANGKAT SATU)
Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x.
Penyelesaian:
Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.
Contoh :
2x – 3 > 5 ® 2x > 5 + 3
ijgeiirjirijrigir j 2x > 8
gehghhejehh2x > 2 gambar
B. PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL (BENTUK AKAR)
Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar.
Penyelesaian:
• Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang.
(Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar
letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan atau sebaliknya).
• Kuadratkan kedua ruasnya.
(tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif).
• Selesaikan pertidaksamaannya …………….. (1)
syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif (³ 0)…(2)
(pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)
• Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas.
Contoh:
1. Ö(x-2) < 2
® kuadratkan
x – 2 < 4
x 0
seimbangkan
Ö(-x+3) > Ö(2x+1)
® kuadratkan
-x + 3 > 2x + 1
3x < 2
x < 2/3
2 £ x < 6
® syarat :
-x + 3 ³ 0 ® x £ 3
dan
2x + 1 ³ 0 ® x ³ -1/2
-1/2 £ x 0 dengan a, b, c konstanta; a ¹ 0.
Penyelesaian:
• Jadikan ruas kanan = 0
• Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
• Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
• Tetapkan nilai-nilai nolnya
• Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
• Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan 0
(x + 2) (x – 1) > 0
x 1
D. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.
Penyelesaian:
• Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat
ditentukan berubah/tidak)
• Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
• Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan ¹
0
contoh :
-8 £ x 3)
Penyelesaian:
• Terlebih dahulu usahakan disederhanakan. Bila ada bentuk kuadrat yang definit (selalu) bernilai
positif ( D 0) langsung dapat dihilangkan.Tanda pertidaksamaan tetap.
Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif ( D < 0 ; a < 0) dapat dihilangkan asal tanda
pertidaksamaannya berubah.
• Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Dengan catatan, tanda pada
garis bilangan akan berubah jika melewati harga nol yang tunggal (rangkap ganjil) dan tanda
akan tetap jika melewati harga nol yang rangkap genap.
contoh:
1. (x – 1/2) (x² – 3x – 4) (x² – 6x + 9) < 0
(x -1/2) (x – 4) (x – 1) (x – 3)² < 0
x < 1 atau 1/2 < x < 3 atau 3 < x 0
Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai) positif, karena:
D = (1)² – 4(3)(2) = -23 dan a = 3
D 0
Sehingga (3x² + x + 2) dapat dihilangkan, soal menjadi
(+)/(X² + 4X – 12) > 0 ® (+)/(X + 6) (X – 2) > 0
X 2
F. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Yaitu pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak.
Batasan : |x| = x jika x > 0
0 jika x = 0
-x jika x 0
½x½< a « -a < x a « x a ½x½ = a « x = ±a
secara umum:
menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas
atau
|x| < a ® x² < a² ® x² – a² < 0 ® (x-a)(x+a) < 0 ® -a < x a ® x² > a² ® x² – a² > 0 ® (x-a)(x+a) > 0 ® xa
keterangan:
|x| -a “x
|a/b| < c « |a| < c|b|